Für die Geburtsurkunde kannst du einfach sagen, der Vater deines Kindes ist nicht bekannt. In der Urkunde wird das Feld des Vaters dann einfach leer gelassen.
Rechtliche Probleme gibt es ggf. dann, wenn du Unterhaltsvorschuss durchsetzen möchtest, aber eigentlich keinen Anspruch darauf hast.
Es ist übrigens so, dass keine Mama dazu gezwungen werden darf, den Namen des Vaters preiszugeben – selbst, wenn es der eigene Partner ist.